Modèles discrets en finance

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Gm02 Abandonnant pour un moment le débat « hausse ou baisse » des indices boursiers, je retourne un peu vers le sujet des modélisations mathématiques en finance, sujet déjà abordé dans deux articles précédents sur ce site. Je crois que c’est un sujet assez intéressant à présenter, car au vu de ce que je vois trainer au détour de certaines pages web, on fait dire aux « maths fi » à peu près tout et n’importe quoi …

Alors tout d’abord, un excellent polycopié mis à disposition par des enseignants de l’Université (en plus, c’est en francais!); certains auront envie d’avoir une remise à niveau en probabilités au préalable (c’est niveau DEUG).

Alors, les « maths fi », késako ? D’abord, il faut bien comprendre que ce n’est pas une recette miracle pour faire fortune à la Bourse … Sinon on ne l’enseignerait pas aux étudiants! Il s’agit plutot d’une facon cohérente de donner un prix à des dérivés sur actifs financiers, en fonction de critères immatériels (des choses dont tout le monde a entendu parler, comme la « valeur temps » par exemple). De nombreux travaux empiriques ont été accomplis sur ce sujet, et il se trouve qu’il existe un formalisme mathématique élégant qui permet de tout rassembler au sein d’une théorie, avec des théorèmes rigoureux.

Ensuite, il existe deux approches bien distinctes, reliées par un « passage à la limite »: les modèles à temps discret et ceux à temps continu. Dans le premier cas, le temps s’écoule de facon discontinue et on étudie des marches aléatoires, alors que dans le second, ces incréments temporels « tendent vers zéro » et, à la limite, on obtient des modèles basés sur des équations différentielles. Dans cette note, je me restreins aux modèles à temps discret.

Le modèle de base est celui de Cox, Ross et Rubinstein, dit aussi « modèle binomial »; le problème posé est le suivant « connaissant le payoff d’une option européenne à la maturité, comment lui donner un prix avant cette date ? ». Il se trouve que la réponse est étonnante: un tel prix est donné par (la valeur actualisée de) l’espérance probabiliste de ce payoff pour toutes le trajectoires possibles du sous-jacent; ceci nécessite une hypothèse importante, l’absence d’opportunité d’arbitrage.

Ce modèle binomial sert d’introduction à une théorie plus générale ou l’évolution des marchés est basée sur une martingale, c’est-à-dire une loi de probabilité pour laquelle « la valeur en chaque instant est l’espérance de ses valeurs futures ». En particulier, c’est une marche aléatoire n’ayant ni tendance haussière ou baissière, ce qui est en quelque sorte justifié par le fait qu’il se produit constamment des transactions impliquant un vendeur (donc quelqu’un qui pense que le prix va baisser), et un acheteur (qui pense le contraire). Le prix ainsi fixé est en quelque sorte une « moyenne des anticipations » des opérateurs pour le futur. Les martingales permettent, au prix d’une machinerie mathématique sensiblement plus lourde, d’étendre le résultat du pricing de dérivé obtenu pour le modèle binomial sans hypothèse restrictive sur l’évolution du marché, hormis la complétude et l’absence d’arbitrage (« no free lunch« ).

(17 commentaires)

  1. Bonjour, ce post est tout à fait intéressant et j’aimerais en savoir un peu plus sur les mathématiques financières. En effet, je suis éléve en première année d’école de commrece et je suis particulièrement intéressé par le monde de la finance et de la Bourse même s’il faut bien l’avouer, j’y suis pour le moment totalement étranger. Pourriez vous m’indiquer quelques ouvrages de présentant tout cela simplement avec des exemples etc…(commençons par le commencement)?

  2. Le commencement, c’est un bon cours d’introduction aux probabilites. Y’en a vraiment plein, donc c’est un peu a toi de trouver celui qui te convient le plus. Ensuite, les polycopiés des auteurs de celui indiqué dans mon post sont assez interessants, mais ils sont en anglais a l’exception de celui-ci.
    Il y a des livres payants disponibles sur le site de l’american math society qui ne sont pas chers dans la serie « graduate texts in mathematics » qui peuvent te convenir si tu lis l’anglais. Personellement, j’ai les livres suivants:
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    http://ams.org/bookstore?co1=AND&co2=AND&co3=AND&d=BOOK&f=G&fn=105&l=100&op1=AND&op2=AND&op3=AND&p=1&pg1=&pg2=&pg3=ALLF&r=20&s1=&s2=&s3=finance&subject=genint&u=
    Les 2 derniers sont + difficiles. En tous cas, tu auras besoin d’un bon bagage de maths car le formalisme est assez important, des que l’on considere des modeles realistes …

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