Finance et mathématiques

Les réactions positives à mon article précédent traitant de la modélisation mathématique des marchés financiers m’ont encouragé à remettre le couvert … J’insiste toutefois sur le fait que je n’expose aucune idée personelle, et que j’essaie le plus possible de renvoyer aux publications originales des auteurs qui travaillent activement dans ce domaine.

L’article précédent présentait une nouveauté au tournant du XXIème siècle, à savoir l’introduction des « hétérogénéités » au sein des opérateurs agissant dans un marché donné; celles-ci remettent en cause la théorie des « anticipations rationnelles » qui sont elles-memes essentielles à la mise en place des « marchés efficients ». Néanmoins, nous avions completement laissé de coté l’aspect vraiment mathématique des choses, une lacune que je vais essayer de combler cette fois-ci.

Tout d’abord, il exite un bon article de synthèse sur la formalisation moderne de la bonne vieille théorie de Léon Bachelier, qui mène tout droit à la célèbre formule de Black-Sholes (qu’il faut tout de meme connaitre malgré ses imperfections!). On peut aussi jeter un oeil sur les travaux de Ioannis Karatsas, notamment ses notes de cours, mais c’est nettement plus trappu! Par contre, cela permet de comprendre pourquoi les nouveaux traders de BNP Paribas sortent tous des Grandes Ecoles et ont fait de la Taupe jusqu’à plus soif!

Il existe néanmoins des papiers de « vulgarisation » (je mets des guillements parce qu’ils ne sont pas vraiment faciles à lire …) écrits par des gens de haut niveau qui permettent de bien situer les enjeux et les moyens mis en oeuvre; par exemple, cet article présente en détail deux grands problèmes de la finance mathématique:

– La théorie de l’équilibre (d’après Walras): existence, unicité, stabilité selon les hypothèses imposées au marché. L’article cité explique clairement le « principe de continuité » qui est une arme à double tranchant.

– Le pricing des dérivés et les stratégies de couverture: on explique que la formule de Black-Sholes est indépendante du rendement moyen de l’action considérée (ce qui en explique partielement le succès car ce rendement moyen est une quantité embétante à calculer!), ce qui revient à dire qu’elle ne « voit » que la volatilité (le risque). On comprend déjà mieux qu’elle soit mise en défaut dans certaines situations …

D’autres liens existent, bien sur! On peut donc citer celui-ci qui s’approche assez bien de l’idée des marchés hétérogènes, ou bien celui-là qui se concentre sur la théorie des produits dérivés.

Gardons tout de meme à l’esprit que toute modélisation mathématique de ces marchés se heurte à une difficulté structurelle; en effet, les mathématiques se sont révélées particulièrement efficaces en Sciences Physiques (par exemple), qui étudient des objets inanimés. En d’autres termes, l’orbite de Saturne ne dépend pas du nombre de télescopes que l’on braque sur elle depuis la Terre. Par contre, l’économie relève des Sciences Humaines, et l’étude que l’on peut faire des marchés est susceptible d’avoir une influence directe sur eux; ainsi un processus itératif peut donc démarrer à l’insu des expérimentateurs! (c’est l’idée d’une vision forcément biaisée à la base de la réflexivité de Soros)