Cela fait quelques temps maintenant que je poste des extrapolations d’indices boursiers; le plus souvent, ces extrapolations sont calculées à partir d’une décomposition de Fourier de la fluctuation de l’indice considéré (c’est-à-dire l’indice diminué de sa tendance moindres carrés). Or, s’il est intéressant de constater que « ca marche » dans certains cas, on peut mettre à profit la période estivale pour essayer de réfléchir sur la robustesse de la méthode en se demandant « pourquoi ca marche ? ». Nous avons fait connaissance hier avec la transformée en ondelettes continue, qui à un signal 1D fait correspondre une fonction 2D pouvant etre vue comme une transformée de Fourier à fenètres (on ira chercher des explications ici et aussi là)
Dans la figure ci-dessus, on fait figurer cette transformée en ondelettes continue: en abscisses, on a le temps, en ordonnées, une quantité pouvant etre interprétée comme 1/fréquence instantannée. La fréquence instantannée n’est pas définie de facon univoque en général, c’est pourquoi je la mets en italique. Ce qui est important, c’est qu’un signal purement oscillant du type sin(2*pi*f*t) serait représenté par une ligne horizontale autour de l’ordonnée 1/f. Donc, comme nos techniques d’extrapolation utilisent massivement le fait que la fluctuation de l’indice boursier considéré est bien représenté dans la base de Fourier, il est très souhaitable que la transformée en ondelettes continue montre nettement des lignes horizontales, au moins à basses fréquences (en haut de la figure). Dans le cas extrème d’un son musical, voici le résultat.
Le cas du Hang-Seng sur 4 ans est montré dans la figure ci-dessus: on observe très peu de lignes horizontales (pour ne pas dire aucune). Par contre, apparait une espèce de triangle vertical (en mauve). C’est très mauvais signe: celui-ci signifie que l’on obtient des grands coefficients dans une région très localisée en temps et sur tout le spectre des fréquences, alors qu’ailleurs on ne voit rien de tout cela. Les gens savants appellent cela « une cascade d’énergie vers les hautes fréquences ». Par conséquent, représenter sous forme de série de Fourier un signal de ce type est tout simplement une mauvaise idée!
Heureusement, nous allons voir avec (par exemple) le CAC40 et le S&P 500 que ce cas est pathologique et qu’en général, les fluctuations boursières sont bien représentées (au moins à basses fréquences, ce que j’appelle parfois les « cycles longs ») par des séries de Fourier.
Cher Laurent,
encore un superbe article… Maintenant que l’analyse démontre brillament la difficulté d’interpoler le Hang-Seng (la conséquence), serait-il possible d’avoir une interprétation des possibles cause (genre irationalité 😉 ?
Ceci me semble moins « trivial » mais encore plus intéressant
Les causes sont surement d’origine économique: lorsqu’on regarde l’indice à partir de l’année passée (notamment la crise de fin février 2007), on observe cette « montée en flèche » de l’indice chinois. Personnellement, je n’ai jamais vraiment compris le pourquoi de cette remontée aux étoiles; mais assurément, c’est ce phénomène-là (ainsi que la chute à pic qui a suivi) qui plombe complètement les algorithmes d’extrpolation sur cet indice …
Donc voila, il faudrait aller rechercher les motivations économiques qui ont fait décoller à la verticale le Hang-Seng et le SSH de Shanghai à cette époque-là.
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