L’ondelette de Morlet et le cours du pétrole

A l’heure ou tombent les PIB des pays de la zone Euro (j’y reviendrai plus tard dans la journée), je vous propose de réfléchir sur l’évolution du prix du crude avec un nouvel outil mathématique, l’ondelette de Jean Morlet. Morlet était un géophysicien qui a inventé le terme « ondelette » pour désigner ce qui était encore appelé « atome temps-fréquence » ou « transformation de Fourier à fenètre« . En gros, l’idée est de passer de la transformée de Fourier traditionnelle, ou l’on fait complètement disparaitre la variable « temps » au profit des fréquences, à quelque chose d’intermédiaire ou les fonctions de bases sont maintenant des sinusoides localisées en temps par des gaussiennes. L’inconvénient est que l’on transforme un signal 1D (fonction du temps) en une transformée 2D (temps + fréquences); l’avantage est que, dans notre cas, celle-ci va nous confirmer l’intéret de l’utilisation de la FFT pour étudier les fluctuations de prix.

Plus haut, nous voyons à quoi ressemble la décomposition des fluctuations de prix autour de la tendance moindres carrés (sur 630 jours et d’ordre 4) pour les cours du crude oil à New York; les couleurs vont du bleu (petit) au rouge (grand). En abscisse, c’est le temps, en ordonnées, une variable artificielle « ressemblant » à l’ìnverse de la fréquence (plus on est haut, plus les fréquences sont basses). Si la fluctuation était un simple sinus, par exemple sin(2*pi*f*t) avec f>0 la fréquence, on obtiendrait une grosse ligne rouge horizontale à l’ordonnée correspondant à f: voir ce que ca donne sur cette image pour un son pur de clarinette. Dans le cas d’un chirp, par exemple sin(2*pi*f*t^2), on aurait une parabole dans le plan temps-fréquences (le chirp est un gazouillis d’oiseau très mal analysé par la transformation de Fourier traditionnelle).

Ce qui est important, c’est que, dans la figure plus haut, on voit nettement 3 lignes horizontales dans le domaine des basses fréquences qui émergent dans le plan temps-fréquences (vers les ordonnées 500, 420 et 350). Ceci explique pourquoi la décomposition de Fourier marche bien sur ce genre de signal (très différent de ceux obtenus par de la turbulence, voir beaucoup d’exemples ici) …

Donc, lorsque l’on effectue la FFT classique, on doit s’attendre à retrouver 3 cycles dominants à basse fréquence dans la fluctuation. C’est bien le cas, comme le montre la figure à gauche (ils sont cerclés en rouge dans le graphique de la transformée de Fourier numérique). On peut donc dire que « l’on ne perd presque rien » lorsque l’on décide de travailler dans la base de Fourier, le fait de garder la variable temps induirait un surcout en temps de calcul et ne permettrait pas de voir des phénomènes nouveaux. C’est une bonne chose aussi du point de vue de l’extrapolation, parce que la base de Fourier s’y prète bien, ce qui est moins le cas de la base des ondelettes localisées de Morlet (outre le fait qu’on ne dispose pas d’algorithmes rapides).

Finissons avec l’extrapolation et la tendance moindres carrés (en vert); a priori, celle-ci ne se retourne pas à la baisse. Mieux, durant la période de « bulle », on est nettement passés au-dessus de cette tendance lourde; la correction actuelle semble nous ramener à une distance plus raisonnable de celle-ci. Ceci militerait pour une stabilisation des cours autour de $120 environ à court terme. Personnellement, je crois de moins en moins à un retour prolongé sous les $100 (et avec l’euro en berne, ce n’est pas une bonne nouvelle pour le réservoir de ma voiture!) …