Un chirp dans le CAC 40!

Je me posais la question hier soir sur la possibilité, non pas d’une ile, mais d’un signal un peu pathologique appelé chirp dans la fluctuation de l’indice CAC 40. Rappelons qu’un chirp est un signal limité en temps, et dont la fréquence est un polynome P(t). Les plus simples sont quadratiques, c’est-à-dire que leur fréquence varie linéairement avec le temps (au contraire de la base de Fourier pour qui les fréquences sont constantes). Le mot chirp peut se traduire par gazouillis, ou chant d’oiseau; il se rencontre beaucoup dans la nature, entre le chant des baleines, le sonar des chauve-souris ou les images de perspectives. Il faut donc bien retenir que le chirp est un signal dont la période (la distance entre 2 pics consécutifs) change avec le temps: par exemple, ci-dessus on montre le CAC 40 sur un an (en noir) et sa fluctuation restante lorsque l’on ote sa moyenne mobile à 50 jours (en vert). Diable, la distance entre les pics diminue …

On peut donc soupconner que la superposition d’ondes de Fourier classiques pour lesquelles la période reste éternellement constante n’est peut-etre pas le meilleur moyen d’analyser un tel indice. Ci-contre, voila ce que l’on trouve lorsque l’on effectue une décomposition de la fluctuation du CAC sur 4 ans (la tendance n’est plus une moyenne mobile mais un polynome d’ordre 5 aux moindes carrés): la courbe bleue représente les plus basses fréquences, la courbe rouge donne le chirp dominant dans ce qui reste. L’adéquation avec les oscillations les plus récentes est spectaculaire!

Mon impression: j’ai la vague idée que la présence d’un chirp est liée au fait que la FFT est « coupée en 2 » entre 2 parties d’importances comparables mais séparées par une zone de fréquences presque négligeables. C’est le cas du CAC, voir ici les 2 parties cerclées en mauve. Le CAC n’est pas le seul indice dans ce cas, le S&P 500 affiche lui aussi la meme propriété. Mais par contre, le DAX ne semble pas posséder de chirp … On peut interpréter cela de la facon suivante: les cycles plus rapides sont légèrement instables (de par leur vitesse de rotation supérieure et en légère accélération), et donc il nìy a pas de fréquence bien définie. Le chirp correspond donc à des opérations (short ?) se faisant à des fréquences moyennes et légèrement instables autour d’une valeur de base. Tout cela est encore à creuser …