CAC 40 sur 2 ans: modification de la tendance

Les lecteurs qui me subissent depuis plusieurs mois se rappelleront que systématiquement, lorsque je présente des études sur des indices mesurés pendant une durée de 512 jours, j’effectue un detrending au moyen d’un polynome aux moindres carrés de degré 2. Il n’y a pas vraiment de raison à cela sinon que ce choix s’est révélé le meilleur en termes d’erreur résiduelle depuis des mois. Or, il semble que les choses doivent changer, et un motif possible réside dans le fait que pour une parabole, la pente augmente (ou diminue suivant le signe) sans cesse au cours du temps. Si on baisse (ou si on monte), on le fait de plus en plus vite … Cette caractéristique ne semble plus etre d’actualité puisque la pente du CAC s’est bien établie à la baisse, mais sa vitesse est pratiquement constante (-5 points par jour; vérifiez par vous-memes, c’est intéressant à faire). Donc on essaie donc de faire dans cette note une analyse basée sur un detrending cubique dans lequel un terme en x^3 va tempérer les ardeurs du terme en x^2; bonne pioche, le résidu L^2 est légèrement plus faible.

Mais au delà des résidus du detrending, c’est au niveau de la fluctuation que les choses s’améliorent le plus notablement. On commence par la transformée en ondelettes continues (ci-contre); il est très visible que désormais les cycles périodiques (matérialisés par des lignes horizontales en couleur jaune ou rouge) sont concentrés sur des périodes situées entre Y=100 et Y=150. Celle à 150 jours survit pendant pratiquement toute la durée des mesures; celle à 100 jours commence en été 2007. Au-dessus de Y=200, il n’y a plus rien d’important (c’est tout bleu, la couleur la plus faible). On peut donc s’attendre à ce que le CAC soit bien approché par un polynome cubique plus quelques termes de Fourier. Plus important, on remarque que l’on retrouve pratiquement la moitié inférieure du graphique obtenu pour 1024 jours avec un detrending d’ordre 5: voir cet article.

Un critère à retenir est donc le suivant: une tendance à court terme est bonne si elle a une pente comparable à une tendance (d’ordre probablement différent) obtenue à plus long terme et si les transformations en ondelettes continues des 2 fluctuations se recoupent correctement dans leurs domaines de définition (le premier est toujours bien plus petit que le second). Le calcul sera d’autant meilleur que les dérivées des tendances seront loin de zéro (ca se comprend facilement, une dérivée nulle, cela signifie une tendance plate de laquelle l’indice peut sortir à la hausse comme à la baisse).

La transformation de Fourier numérique est visible ci-contre (en haut, à gauche): on retrouve bien le cycle à 150 jours qui domine toute la fluctuation (cerclé en rouge). Par contre, ce qui est difficile à extrapoler, c’est que ce cycle dominant (en bleu sur le graphique de droite) est à la hausse alors que le suivant en termes d’importance (en vert) se retourne à la baisse. Si on marie cela avec la tendance d’ordre 3 qui baisse de 5 points par jour, on a de bonnes chances d’obtenir un indice en stagnation, ce qui fait bien plaisir aux banques emettrices de warrants pour lesquels la valeur temps s’évapore rapidement. Le marché est indécis, et peut-etre bien que le plan américain ne suscitera pas de vives réactions.

Terminons avec l’autocorrélation de la fluctuation (ci-contre, graphique de gauche): elle est en bleu, la courbe verte est l’autocorrélation d’une approximation à 3 modes de Fourier, celle en rouge, à 8 modes de Fourier. Le caractère fortement périodique est bien visible sur toutes ces courbes, ce qui corrobore les calculs précédents et supporte l’hypothèse d’une tendance désormais cubique dans le CAC 40 mesuré sur 2 ans. Une première conséquence pratique pour les investisseurs est de délaisser les produits dérivés à maturité rapprochée, voire de privilégier ceux sans valeur temps.