Le S&P 500 sur 4 ans …

L’indice américain le plus représentatif est le S&P 500; ci-contre, on a son évolution sur 1024 jours avec une tendance polynomiale de degré 5 (en vert) nettement retournée à la baisse depuis un bon moment déjà. Une glissade s’était mise en place il y a une dizaine de jours, mais elle fut interrompue par les espoirs suscités par le Plan Paulson, qui s’il passe en l’état (rien n’est moins sur), ne devrait pas changer grand-chose. Signalons au passage l’éditorial de Barry Ritholtz à Barron’s qui vaut le coup d’oeil …

Donc voila, on regarde les fluctuations du marché US dans son ensemble (voir ci-contre): 2 choses émergent de la transformée de Fourier numérique. En premier, nous avons le traditionnel cycle long-terme de période 400 jours (cerclé en rouge). Toutefois, celui-ci perd de la puissance au profit de cycles plus courts (150 jours environ), surtout depuis aout 2007. Le problème lié à une analyse de Fourier de ce genre, c’est que l’on ne peut pas vraiment affirmer que tel cycle s’étiole à partir de telle date et tel autre se renforce à partir de telle autre date (on perd complètement l’information temporelle en Fourier).

C’est donc l’objet de la transformation en ondelettes continues que de ramener en jeu la variable temps (meme si on perd un peu en résolution fréquentielle à cause du principe d’incertitude) grace à l’idée de l’analyse multi-résolution. En gros, on peut considérer sans trop faire d’erreurs, que la projection du graphique ci-contre sur l’axe des Y (qui correspond aux périodes) donnerait la transformée de Fourier de la figure précédente (en haut à gauche) et que la projection du meme graphique sur l’axe des X (correspondant aux jours) donnerait la fluctuation de la meme figure précédente (graphique de droite). Il est donc normal de retrouver à peu près les memes cycles (cerclés en rouge); la nouveauté est de pouvoir affirmer rigoureusement que les oscillations à 150 jours ont vraiment démarré à l’abscisse X=800, ce qui correspond (voir la 1ère figure, celle de l’indice) à aout 2007. On parle aussi parfois de spectre évolutif (un spectre qui varie avec le temps). Vous avez un excellent tutorial là-dessus ici (en francais et au format powerpoint), à lire et relire sans modération.

On termine avec les termes considérés comme « erreur » ou « bruit blanc »: voir ci-contre. Là, les choses se gatent un peu, parce que meme si l’allure globale de la probabilité est encore gaussienne, nous sommes à un moment ou ce bruit augmente nettement en amplitude (donc avec lui l’incertitude): voir le cercle rouge en haut à gauche.